ボーっと生きてんじゃねー！チコちゃんに叱られるで紹介していた「円周率」の説明を実践してみたら、思ったより難しかった！！

背景

テレビで見た円周率の解説があまりにも分かりやすかったので、自分で計算してみた。

円周率を求めることは、円周の長さを求めること！

そもそも円周率の定義は、円の直径と円周の長さの比です。ギリシャ文字のπ(パイ)と表されることが多く、円の半径を $r$ 、円周の長さを $l$ とすれば、次の式で表されます。要するに円周率πの値は、半径１の円の円周の長さを２で割った値ということになります。

$\pi = \frac{l}{2r}$

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円周の長さを正確に測るには？

円周率は円周の長さを直径で割った値なので、実際に円を描いて円周の長さを測ればよいのですが、円周の長さってどうやって測りますか？定規で測ることができるのは、２点間の直線距離です。下の図の曲線PQの長さを定規で測ると、明らかに曲線よりも短くなります。曲線の長さを測るには、曲線上の点と点の距離を測って近似するしかなく、できるだけ細かく区切って精度を上げるしかありません。

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アルキメデスの方法！

問題は、円周の長さが正確に求められないことです。この問題に対し、番組内の解説は次のようなものでした、目からウロコが落ちましたね！どうやら、これはアルキメデスが実施した方法で、アルキメデスの方法と呼ぶそうです。

考え方はシンプルで、下の絵にある黒い円の円周の長さは、円に内接する赤色の6角形の長さと円に外接する六角形の長さの間であると考えます。

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円周の長さは、赤色の６角形の長さと緑色の六角形の長の間なので、あとは正６角形を,

12角形、24角形、48角形・・・と細かくしてゆけば円周の長さの精度が上がって、円周率の3.1416・・・も求められるというものでした。これは、アルキメデスの方法と呼ばれるもので、アルキメデスは正96角形まで計算して、小数点第二位までの、3.14を確かめたそうです。

６角形の周の長さを考える

自分で計算してみると、ふと大きな疑問にぶつかりました。

６角形の周長はどうやって求めればいいの？

赤色の6角形

こちらは簡単で、一辺の長さが1の正三角形が６つ並んでいるので、６です。

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緑色の6角形

こちらも、図のように正三角形を半分にした、内角が30度と60度の直角三角形なので、３辺の長さの比、 $1:2:\sqrt{3}$ を使って、 $\frac{1}{\sqrt{3}} \times 12 = 4\sqrt{3}$ と求まります。

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$\sqrt{3}$ について

$\sqrt{3}$ が出てきましたが、 $\sqrt{3}$ は少数点以下の値が無限に続く数値です。文献によると、アルキメデスは3の平方根として、 265/153 < √3 < 1351/780 であることを示していたとされています。

$\frac{265}{153}=1.7320261437908497$

$\frac{1351}{780}=1.7320512820512821$

つまり、 $\sqrt{3}$ は

1.7320261437908497< $\sqrt{3}$ < 1.7320512820512821なので、ここでは $\sqrt{3}=1.7320$ として計算します。

６六角形の長さから求まる $\pi$ の値

とりあえず、正６角形を使ってπの値を計算してみます。

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赤色の６角形の長さ(=６) < 円周の長さ(=2 $\pi$ )< 緑色の６角形の長さ(=4 $\times$ 1.7320=6.928)

両辺を２で割れば、

3< $\pi$ <3.464

今の所 $\pi$ は、3〜3.464の間の数というところまでわかりました。

６角形から12角形にする

次は、6角形から12角形にして、はさみうちの範囲を狭くします。その際の辺の長さの計算方法は、ここ↓の円周率πの計算についてを参考にしました。

https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/openh20pi.pdf

この中で使われている図形が分かりやすかったので、同じ内容を噛み砕いて説明しますね。

考え方

ここで説明するのは、正６角形の辺の数を２倍にした正12角形の辺の長さの計算方法です。これがわかると、さらに正12角形を正２４角形にしたときの辺の長さ、正24角形を正48角形にしたときの辺の長さが分かるようになります。

分割の方法

赤色で描かれた、内接正６角形の頂点と頂点の間に、新たに頂点Aを追加して正12角形にします。緑色で描かれた外接正６角形は、円との接点と接点の間に、新しい接点Dを追加することで、正12角形にしています。図のaとbの長さは、正6角形の一辺の半分の値で、既に分かっている値です。一方、a'とb'は正１２角形の一辺の半分の長さで、分かっていない値です。すでにわかっているaとbの値から、a'とb'の値が計算できれば、正多角形の角数を増やしても、周長が計算できることになります。

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